Een voorwerp met een snelheid $ v$ heeft bewegingsenergie:

$\displaystyle E_{\textrm{bew}}=\frac{1}{2}M v^2$ (1)

Als het voorwerp roteert om een as door zijn eigen massa middelpunt (CM in het figuur, van Center of Mass), dan heeft het ook nog rotatieenergie:

$\displaystyle E_{\textrm{rot}}=\frac{1}{2}I_{CM} \omega^2$ (2)

Waarbij $ I_{\textrm{CM}}$ het traagheidsmoment van de cilinder om een rotatieas door het massa middelpunt, en $ \omega$ de hoeksnelheid genoemd wordt.

Klik hier om meer te leren over traagheidsmoment en hoeksnelheid.

Stel we nemen een holle cilinder met buitenstraal straal $ R$, binnenstraal $ R_i$, lengte $ l$ en massa $ M$ en we zetten deze cilinder bovenaan een helling met hoek $ \alpha$ en hoogte $ h$ (zie de figuur hiernaast). Wanneer we de cilinder loslaten zal hij helemaal aan het begin nog stil liggen, hij heeft dan alleen maar potentiele energie, gelijk aan:

$\displaystyle E_{\textrm{pot}}=M g h$ (3)

waar $ g$ de zwaartekrachtsversnelling is (op de aarde is deze ongeveer $ g=9.81m/s^2$). Wanneer deze cilinder gaat rollen, zal hij potentiele energie verliezen en bewegings- en rotatieenergie winnen. Onderaan de helling is alle potentiele energie omgezet in bewegings- en rotatieenergie. Omdat er in dit proces (als we wrijving verwaarlozen) geen verlies van energie mag optreden, kun je dan opschrijven:

$\displaystyle E_{\textrm{voor}}$ $\displaystyle = E_{\textrm{na}}$    
$\displaystyle Mgh$ $\displaystyle = \frac{1}{2}M v^2 + \frac{1}{2}I_{\textrm{CM}} \omega^2$ (4)

We hebben nog een relatie tussen $ v$ en $ \omega$ nodig om de vergelijking op te kunnen lossen. Als je aanneemt dat de cilinder niet mag slippen tijdens het rollen krijg je:

$\displaystyle v = \omega R \Rightarrow \omega =\frac{v}{R}$ (5)

Dit invullen in 5:

$\displaystyle Mgh$ $\displaystyle = \frac{1}{2}M v^2 + \frac{1}{2}I_{\textrm{CM}} \frac{v^2}{R^2}$    
$\displaystyle 2gh$ $\displaystyle = v^2 + \frac{I_{\textrm{CM}}}{M}\frac{v^2}{R^2}$    
$\displaystyle v$ $\displaystyle = \sqrt{ \frac{2gh}{1+I_{\textrm{CM}}/(MR^2) }}$ (6)



$ I_{\textrm{CM}}$ van de holle cilinder is:

$\displaystyle I_{\textrm{CM}}=\frac{1}{2}M \left(R_i^2+R^2\right)$ (7)

Voor $ I_{\textrm{CM}}$ van een massieve cilinder wordt $ R_i=0$ gekozen.

Hoe je het traagheidsmoment van een cilinder om een lengteas door het CM bepaalt, lees je hier.

Vergelijking 7 substitueren in vergelijking 6:

$\displaystyle v$ $\displaystyle = \sqrt{ \frac{2gh}{1+\frac{1}{2}M \left(R_i^2+R^2\right)/(MR^2) }}$    
  $\displaystyle = \sqrt{ \frac{2gh}{1+\frac{1}{2} \left(R_i^2/R^2+1\right) }}$    
  $\displaystyle = \sqrt{ \frac{4gh}{R_i^2/R^2+3 }}$ (8)

Het is duidelijk dat zodra $ R_i\neq 0$ de snelheid $ v$ afneemt. Dus een holle cilinder is langzamer dan een massieve cilinder.