De bewegingsvergelijking voor een enkele slinger onderhevig aan de zwaartekracht is: (als de wrijving verwaarloosd wordt)

$\displaystyle I\ddot\theta=-m g \ell \sin \theta $

Als twee slingers gekoppeld worden wordt er een koppelingsterm toegevoegd aan de bewegingsvergelijking van elke slinger. De kracht die de veer ondervindt is gelijk aan $ k\Delta l$, hier geldt dat $ \Delta l=(c\sin\beta-c\sin\alpha)$, is de uitwijking van de evenwichtslengte van de veer. De rotatie kracht is dus: $ kc^2(\sin \beta - \sin \alpha)$.

Met deze toegevoegde term aan de bewegingsvergelijkingen worden deze:

$\displaystyle I\ddot\alpha$ $\displaystyle =-mg\ell\sin\alpha -kc^2(\sin\alpha -\sin\beta)$    
$\displaystyle I\ddot\beta$ $\displaystyle =-mg\ell\sin\beta +kc^2(\sin\alpha -\sin\beta)$    

Deze vergelijkingen kunnen niet analytisch opgelost worden om dezelfde reden dat deze niet exact konden worden opgelost in het geval van de enkele slinger.

Voor kleine hoeken $ \alpha$ en $ \beta$ kan de kleine hoek benadering worden gebruikt: $ \sin \alpha \approx \alpha$ en $ \sin \beta \approx \beta$. De bewegingsvergelijkingen worden dan:

$\displaystyle I\ddot{\alpha}$ $\displaystyle =-mg\ell\, \alpha -kc^2(\alpha -\beta)$    
$\displaystyle I\ddot{\beta}$ $\displaystyle =-mg\ell\, \beta +kc^2(\alpha -\beta)$    

Deze twee vergelijkingen kunnen worden ontkoppeld door het optellen en aftrekken van de twee vergelijkingen:

$\displaystyle I(\ddot\alpha+\ddot\beta)$ $\displaystyle =-mg\ell (\alpha+\beta)$    
$\displaystyle I(\ddot\alpha-\ddot\beta)$ $\displaystyle =-(mg\ell +2kc^2) (\alpha -\beta)$    

met als antwoord:

$\displaystyle \alpha + \beta$ $\displaystyle = A_+ \cos (\omega_+ t+ \psi_+), \quad \omega_+=\sqrt{mg\ell/I}$    
$\displaystyle \alpha - \beta$ $\displaystyle = A_- \cos (\omega_- t + \psi_-), \quad \omega_-=\sqrt{(mg\ell+2kc^2)/I}$    

hier worden $ A_+$, $ A_-$, $ \psi_+$ en $ \psi_-$ bepaald door de begincondities. Merk op dat $ \omega_+=\omega_0$, waarbij $ \omega_0$ de hoekfrequentie van de enkele slinger is.

Praktisch bekeken zijn $ \omega_+$ en $ \omega_-$ de frequenties waarmee de slingers respectivelijk in fase, ( $ \alpha(t)=\beta(t)$) of uit fase ( $ \alpha(t)=-\beta(t)$), bewegen, zoals hieronder geillustreerd wordt.
beweging in fase
beweging in fase
 beweging uit fase
beweging uit fase

De twee toestanden kunnen worden gecombineerd om de oplossing te geven voor $ \alpha$ en $ \beta$

$\displaystyle \alpha$ $\displaystyle = A_+\cos(\omega_+t + \psi_+)/2+ A_-\cos(\omega_-t+\psi_-)/2$    
$\displaystyle \beta$ $\displaystyle = A_+\cos(\omega_+t + \psi_+)/2- A_-\cos(\omega_-t+\psi_-)/2$    

In het algemeen gedragen de slingers zich complex. Het klassieke voorbeeld van dit soort complex gedrag wordt gevonden als één van beide slingers een uitwijking $ \alpha_0=R$ wordt gegeven, terwijl de andere gewoon in zijn evenwichtstoestand wordt gehouden $ \beta_0=0$. Dit wordt hieronder geillustreerd:
Complexe beweging
Een slinger in rust, de ander bij een uitwijking R

De vier vergelijkingen voor de begincondities op $ t=0$ zijn:

$\displaystyle A_+ \cos \psi_+ + A_-\cos\psi_- = R$    
$\displaystyle A_+ \cos \psi_+ - A_-\cos\psi_- = 0$    
$\displaystyle -\omega_+A_+ \sin \psi_+ - \omega_-A_-\sin\psi_- = 0$    
$\displaystyle -\omega_+A_+ \sin \psi_+ + \omega_-A_-\sin\psi_- = 0$    

De oplossingen zijn $ \psi_+=\psi_-=0$ en $ A_+=A_-=R/2$. De bewegingsvergelijkingen worden dan:

$\displaystyle \alpha=R/2(\cos\omega_+t+\cos\omega_-t)$    
$\displaystyle \beta =R/2(\cos\omega_+t-\cos\omega_-t)$    

Gebruikmakend van trigonometrische identiteiten voor de som en het verschil van (co-)sinus functies kunnen deze herschreven worden:

$\displaystyle \alpha= R\cos\frac{(\omega_- +\omega_+)t}{2}\cos\frac{(\omega_--\omega_+)t}{2}$ (2)
$\displaystyle \beta = R\sin\frac{(\omega_- +\omega_+)t}{2}\sin\frac{(\omega_--\omega_+)t}{2}$    

De oplossingen zijn hieronder getekend:
Oscilloscoop
Een slinger in rust, de andere onder een beginhoek van R=30 graden.

Vergelijkingen (2) laten zien dat $ \alpha$ en $ \beta$ bestaan uit een vermenigvuldiging van 2 sinussen of cosinussen met verschillende hoekfrequentie ( $ [\omega_-+\omega_+]/2$ en $ [\omega_--\omega_+]/2$).

De oscillatie met de langere periode $ 4\pi/(\omega_--\omega_+)$ vormt een envelop voor de oscillaties met kleinere periode $ 4\pi/(\omega_-+\omega_+)$.
In de limiet van zwakke koppeling:

$\displaystyle \lim_{kc^2\rightarrow0}(\omega_- + \omega_+)/2$ $\displaystyle = \omega_+$    
$\displaystyle \lim_{kc^2\rightarrow0}(\omega_- - \omega_+)/2$ $\displaystyle = 0$    

Op $ t=(2n+1)2\pi/(\omega_--\omega_+),\,n=0,1,\ldots$ zal de eerste slinger tot rust komen, terwijl de tweede tot rust komt op $ t=n2\pi/(\omega_--\omega_+),\,n=0,1,\ldots$.